Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения. Область значения функций в задачах егэ При каком наибольшем a множество значений функции
Функция - одно из важнейших математических понятий.
Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y - зависимой переменной или значением функции или простофункцией.
Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.
Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.
Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2x 2 –6. Тогда можно записать, что f(x)=2x 2 –6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.
Определение: Область определения функции - это все значения x, при которых существует функция.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.
Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.
Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой, где l 0 начальная длина стержня, а -коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.
Пример.
Укажите область значений функции y = arcsinx .
Решение.
Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]
. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
Производная положительна для всех x
из интервала (-1; 1)
, то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1
, а наибольшее при x = 1
.
Мы получили область значений функции арксинуса 
.
Найдите множество значений функции 
на отрезке
.
Решение.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку
:
Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x соответствует единственное значение y .
Обозначение:
Переменную x называют независимой переменной или аргументом , а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x . Значение y , соответствующее заданному значению x , называют значением функции .
Все значения, которые принимает x , образуют область определения функции ; все значения, которые принимает y , образуют множество значений функции .
Обозначения: 
D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x 0 соответствуют несколько значений (а не одно) y , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.
Способы задания функции
1) Функция может быть задана аналитически
в виде формулы. Например, 
2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y) .
3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.
Монотонность функции
Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.
Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
Нули функции и промежутки знакопостоянства
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
Такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
Четные и нечетные функции
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
Периодические функции
Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.
В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.
Начнем с базовых определений.
Определение 1
Множество значений функции y = f (x) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x ∈ X .
Определение 2
Область значений функции y = f (x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x ∈ (f) .
Область значений некоторой функции принято обозначать E (f) .
Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.
Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y = f (x) . Область допустимых значений x для выражения f (x) и будет областью определения данной функции.
Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.
Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось O y . При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.
Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.
Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f (x) на некотором отрезке, обозначенном [ a ; b ] . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.
Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.
Пример 1
Условие: найдите область значений y = a r c sin x .
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [ - 1 ; 1 ] . Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x , расположенных в интервале [ - 1 ; 1 ] , то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x , равном - 1 , а самое большое – при x , равном 1 .
m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .
Ответ: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2
Пример 2
Условие: вычислите область значений y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на заданном отрезке [ 1 ; 4 ] .
Решение
Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.
Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 и л и 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1 . 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4
Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 · 15 - 33 8 3 + 6 · 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32
Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117 - 165 33 512 ; 32 .
Ответ: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f (x) в промежутках (a ; b) , причем a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.
Пример 3
Условие: вычислите область значений функции y = 1 x 2 - 4 на интервале (- 2 ; 2) .
Решение
Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
У нас получилось максимальное значение, равное 0 , поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:
То есть y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 будет максимальным значений функции.
Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к - 2 с правой стороны и к + 2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 · 1 - 0 = - ∞
У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до - 1 4 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от - 2 до 0 . А когда аргумент меняется от 0 до 2 , значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (- ∞ ; - 1 4 ] .
Ответ: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Пример 4
Условие : укажите множество значений y = t g x на заданном интервале - π 2 ; π 2 .
Решение
Нам известно, что в общем случае производная тангенса в - π 2 ; π 2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от - π 2 до π 2 ,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.
Ответ: - ∞ ; + ∞ .
Пример 5
Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x .
Решение
Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D (y) = 0 ; + ∞ . Производная на заданном интервале будет положительной: y " = ln x " = 1 x . Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.
Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.
Пример 6
Условие: определите, какова область значений функции y = 9 x 2 + 1 .
Решение
Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x ≥ 0 ; возрастать, если x ≤ 0 ; она имеет точку максимума y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 при переменной, равной 0 .
Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0
Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.
Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0 . Мы отобразили это на рисунке:
На нем видно, что областью значений функции будет интервал E (y) = (0 ; 9 ]
Ответ: E (y) = (0 ; 9 ]
Если нам надо определить множество значений функции y = f (x) на промежутках [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.
А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.
Пример 7
Условие: определите, какова будет область значений y = x x - 2 .
Решение
Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0 , то D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке - ∞ ; 2 , который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1 . Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2 , то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала - ∞ ; 1 . Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.
Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1 ; + ∞ . Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств - ∞ ; 1 и 1 ; + ∞ .
Ответ: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Это можно увидеть на графике:
Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.
Пример 8
Условие: определите область значений синуса y = sin x .
Решение
Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
В рамках 0 ; 2 π у функции будут точки экстремума π 2 и x = 3 π 2 . Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin π 2 = 1
Ответ: E (sin x) = - 1 ; 1 .
Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.
Пример 9
Условие: определите область значения y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Решение
Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E (a r c cos x) = 0 ; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Мы можем получить функцию a r c cos x 3 + 5 π 7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси O x , но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Функция 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 может быть получена из арккосинуса a r c cos x 3 + 5 π 7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси O y на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Ответ: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.
Пример 10
Условие: вычислите, какова будет область значений функции y = 2 2 x - 1 + 3 .
Решение
Перепишем функцию, заданную в условии, как y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Для степенной функции y = x - 1 2 область значений будет определена на промежутке 0 ; + ∞ , т.е. x - 1 2 > 0 . В таком случае:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Значит, E (y) = 3 ; + ∞ .
Ответ: E (y) = 3 ; + ∞ .
Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.
Пример 11
Условие: дана функция y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 < x ≤ 3 1 x - 3 , x > 3 . Вычислите область ее значений.
Решение
Данная функция является определенной для всех значений x . Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных - 3 и 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента - 3 . При приближении к нему значения функции стремятся к - 2 sin 3 2 - 4 , а при стремлении x к - 3 с правой стороны значения будут стремиться к - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3 . Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к - 1 , при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.
Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .
На первом из них у нас получилась функция y = 2 sin x 2 - 4 . Поскольку - 1 ≤ sin x ≤ 1 , получаем:
1 ≤ sin x 2 < 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Значит, на данном промежутке (- ∞ ; - 3 ] множество значении функции – [ - 6 ; 2 ] .
На полуинтервале (- 3 ; 3 ] получилась постоянная функция y = - 1 . Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу - 1 .
На втором промежутке 3 ; + ∞ у нас есть функция y = 1 x - 3 . Она является убывающей, потому что y " = - 1 (x - 3) 2 < 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0 ; + ∞ . Теперь объединим полученные результаты: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Ответ: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Решение показано на графике:
Пример 12
Условие: есть функция y = x 2 - 3 e x . Определите множество ее значений.
Решение
Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Мы знаем, что производная обратится в 0 , если x = - 1 и x = 3 . Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.
Функция будет убывать на (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) и возрастать на [ - 1 ; 3 ] . Точкой минимума будет - 1 , максимума – 3 .
Теперь найдем соответствующие значения функции:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0
Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.
На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до - 2 e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до - 1 . Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6 e - 3 до 0 , но при этом 0 достигнут не будет.
Таким образом, E (y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Ответ: E (y) = [ - 2 e ; + ∞)
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Страница 1
Занятие 3
«Область значений функции»
Цели:- Применять понятие области значений к решению конкретной задачи;
решение типовых задач.
В течение нескольких лет на экзаменах регулярно появляются задачи, в которых из данного семейства функций требуется выделить те, чьи множества значений удовлетворяют объявленным условиям.
Рассмотрим такого рода задачи.
Актуализация знаний.
Что мы понимаем под множеством значений функции?
Как обозначается множество значений функции?
По каким данным мы можем найти множество значений функции? (По аналитической записи функции или ее графику)
(см задания ЕГЭ, часть А)
Множества значений каких функций мы знаем? (Перечисляются основные функции с записью их на доске; для каждой из функций записывается ее множество значений). В результате на доске и в тетради учащихся
|
Функция |
Множество значений |
|
y = x 2 y = x 3 y = | x | y =
|
E(y ) = E(y ) = [- 1, 1] E(y ) = (– ∞, + ∞) E(y ) = (– ∞, + ∞) E(y ) = (– ∞, + ∞) E(y ) = (0, + ∞) |
Можем ли мы, используя эти знания, сразу найти множества значений записанных на доске функций? (см. таблицу 2).
Что может помочь в ответе на данный вопрос? (Графики этих функций).
Как построить график первой функции? (Опустить параболу на 4 единицы вниз).
|
Функция |
Множество значений |
|
y = x 2 – 4 |
E(y ) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
E(y ) = |
|
y = – 5 cos x |
E(y ) = [- 5, 5] |
|
y = tg (x + / 6) – 1 |
E(y ) = (– ∞, + ∞) |
|
y = sin (x + / 3) – 2 |
E(y ) = [- 3, - 1] |
|
y = | x – 1 | + 3 |
E(y ) = |
|
y = | ctg x | |
E(y ) = |
|
y =  = | cos (x + /4) |
|
E(y ) = |
|
y = (x – 5) 2 + 3 |
E(y ) = . Найдите множество значений функции:   . 
Введение алгоритма решения задач на нахождение множества значений тригонометрических функций. Давайте посмотрим, как мы можем применить имеющийся опыт для решения различных заданий, включаемых в варианты единого экзамена. 1. Нахождение значений функций при заданном значении аргумента. Пример. Найти значение функции у = 2 cos (π/2+ π/4) – 1, если х = - π/2. Решение.
y (-π/2) = 2 cos (- π/2 – π/4)- 1= 2 cos (π/2 + π/4)- 1 = - 2 sin π/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2.Нахождение области значений тригонометрических функций
1≤ sin х ≤ 1 2 ≤ 2 sin х ≤ 2 9 ≤ 11+2sin х ≤ 13 3 ≤ Выпишем целые значения функции на промежутке . Это число 3. Ответ: 3.
у = sin 2 х- 2 3 sin х + 3 2 - 3 2 + 8, у = (sin х- 3) 2 -1. Е (sin х ) = [-1;1]; Е (sin х -3) = [-4;-2]; Е (sin х -3) 2 = ; Е (у ) = . Ответ: .
Можем ли мы найти множество значений этой функции? (Нет.) Что нужно сделать? (Свести к одной функции.) Как это сделать? (Использовать формулу cos 2 x = 1-sin 2 x .) Итак, у = 1-sin 2 x + 2sin x –2, y = -sin 2 x + 2sin x –1, у = -(sin x –1) 2 . Ну, а теперь мы можем найти множество значений и выбрать из них наименьшее. 1 ≤ sin x ≤ 1, 2 ≤ sin x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Значит, наименьшее значение функции у
наим
= –4. Ответ: -4.
Решение. у = 1-cos 2 x + cos x + 1,5, у = -cos 2 x + 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, у = -(cos x - 0,5) 2 + 2,75. Е(cos x ) = [-1;1], Е(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], Е(cos x – 0,5) 2 = , Е(-(cos x -0,5) 2) = [-2,25;0], Е(у ) = . Наибольшее значение функции у наиб = 2,75; наименьшее значение у наим = 0,5. Найдём произведение наибольшего и наименьшего значения функции: у наиб ∙ у наим = 0,5∙2,75 = 1,375. Ответ: 1,375. Решение. Перепишем функцию в виде у =, у
= Найдем теперь множество значений функции. E(sin x ) = [-1, 1], E(6sin x ) = [-6, 6], E(6sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E(y
) = [ Найдем сумму целых значений функции: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Ответ: 30.
 Решение. 1) 2) Следовательно, 2х принадлежат II четверти. 3) Во II четверти функция синус убывает и непрерывна. Значит, данная функция 4) Вычислим эти значения:
Ответ:
 Решение. 1) Так как а синус принимает значения от -1 до 1, то множество значений разности 2) Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит, множество значений выражения - это отрезок 3) При умножении этого отрезка на Ответ:  Решение. Так как арктангенс является возрастающей функцией, то 2) При возрастании х
от 3) При возрастании от 4) Используя формулу, выражающую синус через тангенс половинного угла, находим, что
Значит, искомое множество значений – это объединение отрезков Ответ: у
= a sin x + b cos x
или у
= a sin (р
x) + b cos (р
x).
Решение. Найдем значение Преобразуем выражение 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 sin (2x + Множество значений функций у = sin (2x + Тогда множество значений исходной функции -25 Ответ
:
[-25; 25].
Функция у = сtg х является убывающей на отрезке [π/4; π/2], следовательно, наименьшее значение функция будет принимать при х = π/2, то есть у (π/2) = сtg π/2 = 0; а наибольшее значение – при х= π/4, то есть у (π/4) = сtg π/4 = 1. Ответ: 1, 0.
 . Решение. Выделим в равенстве Отсюда следует, что графиком функции f(x) является либо гипербола (а≠ 0), либо прямая без точки. При этом если а; 2а) и (2а; Если а = 0, то f(x) = -2 на всей области определения х ≠ 0. Поэтому очевидно, что искомые значения параметра не равняются нулю. Поскольку нас интересуют значения функции только на отрезке [-1; 1], то классификация ситуаций определяется тем, что асимптота х = 2а гиперболы (а≠0) располагается относительно этого отрезка. Случай 1. Все точки промежутка [-1; 1] находятся справа от вертикальной асимптоты х = 2а, то есть когда 2а Случай 2. Вертикальная асимптота пересекает промежуток [-1; 1], и функция убывает (как и в случае 1), то есть когда Случай 3. Вертикальная асимптота пересекает промежуток [-1; 1] и функция возрастает, то есть -1
Случай 4. Все точки промежутка [-1; 1] находятся слева от вертикальной асимптоты, то есть 1 а > .
и второго Прием 5. Упрощение формулы, задающей дробно-рациональную функцию Прием 6. Нахождение множества значений квадратичных функций (с помощью нахождения вершины параболы и установления характера поведения её ветвей). Прием 7.
Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций. Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая. Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у. Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х). НАПРИМЕР у=5+х 1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим) Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x). НАПРИМЕР. 1.у=1/х. (наз.гипербола) 2. у=х^2. (наз. парабола) 3.у=3х+7. (наз. прямая) 4. у= √ х. (наз. ветвь параболы) Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. Область определения функцииМножество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y). Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4. 1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля. 2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 4. D (у)= } Рекомендуем также
|
– 1.
, т.е. Е (у)= .
,
, 8].
то есть х
принадлежит I четверти.
до 
.
. При умножении на 
этот отрезок перейдет в отрезок 
.
.
получим 
.
.
.
до 
аргумент 2х
возрастает от 
до 
. Так как синус на таком промежутке возрастает, то функция 
до 1.
аргумент 2х
возрастает от 
. Так как синус на таком промежутке убывает, то функция 
до 1.
.
и 
, то есть отрезок 
= 
= 25.
) = 25 () =
), где cos
sin (2x +
) и, если а > 0, монотонно возрастает на этих лучах.
.
